ใบความรู้ที่ 3

 

เรื่อง   ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์

ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์

          ในการศึกษาปริมาณต่างๆในวิชาฟิสิกส์ พบว่าปริมาณเหล่านี้แบ่งออกเป็น 2 ประเภทคือ ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์

1. ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) คือ ปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น ระยะทาง  มวล  เวลา  ปริมาตร  ความหนาแน่น  งาน  พลังงาน  ฯลฯ การหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกลาร์ ก็อาศัยหลักทางพีชคณิต คือ การบวก ลบ คูณ หาร

2. ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector  quantity )  คือ  ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะได้ความหมายสมบูรณ์  เช่น  การกระจัด  ความเร็ว  ความเร่ง  แรง  โมเมนตัม  ฯลฯ การหาผลลัพธ์ของปริมาณเวกเตอร์  ต้องอาศัยวิธีการทางเวกเตอร์โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทาง

    2.1 สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์  แทนด้วยลูกศร ความยาวของลูกศรแทนขนาด  หัวลูกศรแทนทิศทาง  และเขียนตัวอักษรที่มีลูกศรครึ่งอยู่บนตัวอักษร  ดังต่อไปนี้

 

 

 

 

 

 

รูป 1.  แสดงเวกเตอร์   ,   และ 

 

โดย     เวกเตอร์  มีขนาด  2  หน่วย ไปทางทิศตะวันออก

เวกเตอร์  มีขนาด  3  หน่วยไปทางทิศเหนือ

เวกเตอร์  มีขนาด  3  หน่วย  ทำมุม q  กับแนวระดับ

 

    2.2  เวกเตอร์ที่เท่ากัน  เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ เท่ากัน เมื่อมีขนาดเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน ดังรูป 2.

 

 

 

 

รูป 2.  แสดงเวกเตอร์ที่เท่ากัน

 

2.3  เวกเตอร์ตรงข้ามกัน  เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ตรงข้ามกัน เมื่อมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน  ดังรูป 3.

 

 

 

 

 

 

รูป 3.  แสดงเวกเตอร์ตรงข้ามกัน

 

2.4  การบวกลบเวกเตอร์

    การบวก ลบ ปริมาณเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ลัพธ์ สามารถทำได้ 2 วิธีคือ

2.4.1  วิธีการเขียนรูป   โดยวิธีหางต่อหัว  เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะมีขนาดและทิศจากหางเวกเตอร์ตัวแรก ถึงหัวลูกศรเวกเตอร์ตัวสุดท้าย ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง    กำหนดให้

            

 

 

 

1. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก +++

 

 

 

 

2. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก -+-

 

 

 

3. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก -+-

 

 

 

2.4.2  วิธีการคำนวณ  การใช้วิธีคำนวณในการหาเวกเตอร์ลัพธ์ ก็เพื่อคำถูกต้องแน่นอนกว่า การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีสร้างรูป เพราะ การสร้างรูป ถ้าลากความยาวหรือทิศลูกศรคลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์จะผิดไปจากเดิม

  การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีคำนวณหาได้ดังนี้

             ในกรณีนี้จะพิจารณาเวกเตอร์เพียง 2 เวกเตอร์เท่านั้น

                 ให้  และ   ทำมุม q ซึ่งกันและกันดังรูป เวกเตอร์ลัพธ์ (  ) จะมีขนาดเท่าใด และมีทิศอย่างไร

 

 

 

วิธีคิด เพื่อหาสมการที่ใช้ในการคำนวณ  เริ่มจากการสร้างรูป

                

 

 

 

 

                             จาก       =   +           , เวกเตอร์มีองค์ประกอบคือ_X  , _Y

                             จะได้      =   + _X + _Y

 

 

 

 

 

 

จากกฎของพิทาธอรัส  หาขนาดของเวกเตอร์  จะได้

                                      R  = 

R  = 

R  = 

แต่ cos²q + sin²q = 1 ,                   R  = 

 

 

 

ดังนั้น สมการทั่วๆไปในการหาค่าขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ จากเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์รวมกัน จะได้

                                      R  =                        ******

 

หาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์    จากรูป ด้านล่างนี้  เวกเตอร์ลัพธ์  จะมีทิศทำมุม a กับแนวระดับ

 

 

 

 

         

การหาทิศของเวกเตอร์ลัพธ์   คือ การหาค่ามุม  a

          จาก               tan a      =   

          จะได้             tan a      =                              ****************   

 

ตัวอย่าง   จงหาเวกเตอร์ลัพธ์  จาก  มีขนาด  4  หน่วย  และ    มีขนาด  3  หน่วย  โดยเวกเตอร์ทั้งสองทำมุมระหว่างกันดังนี้  0  องศา  ,  60  องศา  ,  90  องศา  และ 180 องศา  ตามลำดับ โดยวิธีสร้างรูป  และ วิธีคำนวณ

วิธีทำ  

 ขนาด  4  หน่วย  และ    ขนาด  3  หน่วย  ทำมุมระหว่างกัน  0  องศา

 

สร้างรูป  

 

 

 

คำนวณ       จากสมการทั่วไป    R  =      ,  จะได้  q = 0 องศา

                                      R  =     ,   cos 0°  =  1

                                      R  =                 , ( A + B )² = A² + 2AB +B²

                                      R  = 

                   จะได้             R  =    A +  B

                   แทนค่า           R  =   4  +  3    =   7  หน่วย

 

 ขนาด  4  หน่วย  และ    ขนาด  3  หน่วย  ทำมุมระหว่างกัน  60  องศา

ขนาด  3  หน่วย

สร้างรูป  

 

			ขนาด  4  หน่วย

 

คำนวณ       จากสมการทั่วไป    R  =      ,  จะได้  q = 60 องศา

                   แทนค่า           R  =     ,   cos 60°  = 

                                      R  =                                                                         R  = 

                                      R  =   

                                      R  =      6.08    หน่วย

 ขนาด  4  หน่วย  และ    ขนาด  3  หน่วย  ทำมุมระหว่างกัน  90  องศา

ขนาด  3  หน่วย

สร้างรูป  

			ขนาด  4  หน่วย

 

 

 

คำนวณ       จากสมการทั่วไป    R  =      ,  จะได้  q = 90 องศา

                   แทนค่า           R  =     ,   cos 90°  =  0

                                       R  =                                                                                   R  = 

R  = 

                                      R  =   

                                      R  =      5    หน่วย

 ขนาด  4  หน่วย  และ    ขนาด  3  หน่วย  ทำมุมระหว่างกัน  180  องศา

 

ขนาด  4  หน่วย  และ    ขนาด  3  หน่วย

สร้างรูป  

				ขนาด  1  หน่วย

 

 

คำนวณ       จากสมการทั่วไป    R  =      ,  จะได้  q = 180 องศา

                                      R  =     ,   cos 180°  =  -1

                                      R  =                 , ( A - B )² = A² - 2AB +B²

                                      R  = 

                   จะได้             R  =    A -  B

                   แทนค่า           R  =   4  -  3    =   1  หน่วย

 

จากตัวอย่างข้างบนนี้สรุปเกี่ยวกับขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้ว่า

1. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศไปทางเดียวกัน จะทำมุมระหว่างกัน …0.. องศา

ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอาขนาดมารวมกัน  ( R  =    A  +  B )

 

1. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศตรงข้ามกัน จะทำมุมระหว่างกัน …180.. องศา

ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอาขนาดมาลบกัน  ( R  =    A  -  B )

 

1. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำมุมระหว่างกัน q องศา

ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R  = 

 

1. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำมุมระหว่างกัน 90 องศา

ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R  = 

0 Vote(s)

Ksupajin Status : ผู้ใช้ทั่วไป วิทยาศาสตร์