ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์
ใบความรู้ที่ 3
เรื่อง ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์
ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์
ในการศึกษาปริมาณต่างๆในวิชาฟิสิกส์ พบว่าปริมาณเหล่านี้แบ่งออกเป็น 2 ประเภทคือ ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์
1. ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) คือ ปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น ระยะทาง มวล เวลา ปริมาตร ความหนาแน่น งาน พลังงาน ฯลฯ การหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกลาร์ ก็อาศัยหลักทางพีชคณิต คือ การบวก ลบ คูณ หาร
2. ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) คือ ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะได้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตัม ฯลฯ การหาผลลัพธ์ของปริมาณเวกเตอร์ ต้องอาศัยวิธีการทางเวกเตอร์โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทาง
2.1 สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์ แทนด้วยลูกศร ความยาวของลูกศรแทนขนาด หัวลูกศรแทนทิศทาง และเขียนตัวอักษรที่มีลูกศรครึ่งอยู่บนตัวอักษร ดังต่อไปนี้
รูป 1. แสดงเวกเตอร์ , และ
โดย เวกเตอร์ มีขนาด 2 หน่วย ไปทางทิศตะวันออก
เวกเตอร์ มีขนาด 3 หน่วยไปทางทิศเหนือ
เวกเตอร์ มีขนาด 3 หน่วย ทำมุม q กับแนวระดับ
2.2 เวกเตอร์ที่เท่ากัน เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ เท่ากัน เมื่อมีขนาดเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน ดังรูป 2.
รูป 2. แสดงเวกเตอร์ที่เท่ากัน
2.3 เวกเตอร์ตรงข้ามกัน เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ตรงข้ามกัน เมื่อมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน ดังรูป 3.
รูป 3. แสดงเวกเตอร์ตรงข้ามกัน
2.4 การบวกลบเวกเตอร์
การบวก ลบ ปริมาณเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ลัพธ์ สามารถทำได้ 2 วิธีคือ
2.4.1 วิธีการเขียนรูป โดยวิธีหางต่อหัว เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะมีขนาดและทิศจากหางเวกเตอร์ตัวแรก ถึงหัวลูกศรเวกเตอร์ตัวสุดท้าย ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง กำหนดให้
|
|
|
||||||
1. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก +++
2. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก -+-
3. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก -+-
2.4.2 วิธีการคำนวณ การใช้วิธีคำนวณในการหาเวกเตอร์ลัพธ์ ก็เพื่อคำถูกต้องแน่นอนกว่า การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีสร้างรูป เพราะ การสร้างรูป ถ้าลากความยาวหรือทิศลูกศรคลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์จะผิดไปจากเดิม
การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีคำนวณหาได้ดังนี้
ในกรณีนี้จะพิจารณาเวกเตอร์เพียง 2 เวกเตอร์เท่านั้น
ให้ และ ทำมุม q ซึ่งกันและกันดังรูป เวกเตอร์ลัพธ์ ( ) จะมีขนาดเท่าใด และมีทิศอย่างไร
วิธีคิด เพื่อหาสมการที่ใช้ในการคำนวณ เริ่มจากการสร้างรูป
จาก = + , เวกเตอร์มีองค์ประกอบคือX , Y
จะได้ = + X + Y
จากกฎของพิทาธอรัส หาขนาดของเวกเตอร์ จะได้
R =
R =
R =
แต่ cos2q + sin2q = 1 , R =
ดังนั้น สมการทั่วๆไปในการหาค่าขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ จากเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์รวมกัน จะได้
R = ******
หาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ จากรูป ด้านล่างนี้ เวกเตอร์ลัพธ์ จะมีทิศทำมุม a กับแนวระดับ
การหาทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ คือ การหาค่ามุม a
จาก tan a =
จะได้ tan a = ****************
ตัวอย่าง จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก มีขนาด 4 หน่วย และ มีขนาด 3 หน่วย โดยเวกเตอร์ทั้งสองทำมุมระหว่างกันดังนี้ 0 องศา , 60 องศา , 90 องศา และ 180 องศา ตามลำดับ โดยวิธีสร้างรูป และ วิธีคำนวณ
วิธีทำ
ขนาด 4 หน่วย และ ขนาด 3 หน่วย ทำมุมระหว่างกัน 0 องศา
สร้างรูป
คำนวณ จากสมการทั่วไป R = , จะได้ q = 0 องศา
R = , cos 0° = 1
R = , ( A + B )2 = A2 + 2AB +B2
R =
จะได้ R = A + B
แทนค่า R = 4 + 3 = 7 หน่วย
ขนาด 4 หน่วย และ ขนาด 3 หน่วย ทำมุมระหว่างกัน 60 องศา
|
|
|
สร้างรูป
|
|||
คำนวณ จากสมการทั่วไป R = , จะได้ q = 60 องศา
แทนค่า R = , cos 60° =
R = R =
R =
R = 6.08 หน่วย
ขนาด 4 หน่วย และ ขนาด 3 หน่วย ทำมุมระหว่างกัน 90 องศา
|
|
|
สร้างรูป
|
|||||
คำนวณ จากสมการทั่วไป R = , จะได้ q = 90 องศา
แทนค่า R = , cos 90° = 0
R = R =
R =
R =
R = 5 หน่วย
ขนาด 4 หน่วย และ ขนาด 3 หน่วย ทำมุมระหว่างกัน 180 องศา
|
|
|
สร้างรูป
|
||||||
คำนวณ จากสมการทั่วไป R = , จะได้ q = 180 องศา
R = , cos 180° = -1
R = , ( A - B )2 = A2 - 2AB +B2
R =
จะได้ R = A - B
แทนค่า R = 4 - 3 = 1 หน่วย
จากตัวอย่างข้างบนนี้สรุปเกี่ยวกับขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้ว่า
- เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศไปทางเดียวกัน จะทำมุมระหว่างกัน …0.. องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอาขนาดมารวมกัน ( R = A + B )
- เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศตรงข้ามกัน จะทำมุมระหว่างกัน …180.. องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอาขนาดมาลบกัน ( R = A - B )
- เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำมุมระหว่างกัน q องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R =
- เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำมุมระหว่างกัน 90 องศา
ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R =
